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求助一道高等代數多項式的問題証明：多項式g(x)=1+x^2+x^4...+x^2n能整除f(x)=1+x^4+x^8...+x^4n的充分必要條件是n爲偶數

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求助一道高等代數多項式的問題
証明：多項式g(x)=1 x^2 x^4... x^2n能整除f(x)=1 x^4 x^8... x^4n的充分必要條件是n爲偶數
網友廻答：
求助一道高等代數多項式的問題証明：多項式g(x)=1+x^2+x^4...+x^2n能整除f(x)=1+x^4+x^8...+x^4n的充分必要條件是n爲偶數,第2張
匿名網友
  • 若n=2m
    f(x)=(x^(8m 4)-1)/(x^4-1)
    =(x^(4m 2)-1)(x^(4m 2) 1)/(x^4-1)
    =(1 x^2 x^4 ... x^4m)(x^(4m 2) 1)/(x^2 1)
    =g(x)*[(x^2)^(2m 1) 1]/(x^2 1),而x^2 1整除[(x^2)^(2m 1) 1],所以g(x)整除f(x).
    反過來,一個反例即可：n=1時g(x)=1 x^2,f(x)=1 x^4,g(x)不整除f(x).
    証畢.

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