![求助一道高等代數多項式的問題証明:多項式g(x)=1+x^2+x^4...+x^2n能整除f(x)=1+x^4+x^8...+x^4n的充分必要條件是n爲偶數,第1張 求助一道高等代數多項式的問題証明:多項式g(x)=1+x^2+x^4...+x^2n能整除f(x)=1+x^4+x^8...+x^4n的充分必要條件是n爲偶數,第1張](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
求助一道高等代數多項式的問題
証明:多項式g(x)=1 x^2 x^4... x^2n能整除f(x)=1 x^4 x^8... x^4n的充分必要條件是n爲偶數網友廻答:
- 若n=2m
f(x)=(x^(8m 4)-1)/(x^4-1)
=(x^(4m 2)-1)(x^(4m 2) 1)/(x^4-1)
=(1 x^2 x^4 ... x^4m)(x^(4m 2) 1)/(x^2 1)
=g(x)*[(x^2)^(2m 1) 1]/(x^2 1),而x^2 1整除[(x^2)^(2m 1) 1],所以g(x)整除f(x).
反過來,一個反例即可:n=1時g(x)=1 x^2,f(x)=1 x^4,g(x)不整除f(x).
証畢.
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