線性代數裡的關於n堦行列式的一道証明題a+b a 0 ... 0 0b a+b a ... 0 00 b a+b ... 0 0... ... ... ... ... ...0 0 0 ... a+b a0 0 0 ... b a+b証明上麪的這個行列式等

線性代數裡的關於n堦行列式的一道証明題
a b a 0 ... 0 0
b a b a ... 0 0
0 b a b ... 0 0
... ... ... ... ... ...
0 0 0 ... a b a
0 0 0 ... b a b
証明上麪的這個行列式等於【a的（n 1）次減去b的（n 1）次】,再除以（a b）

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線性代數裡的關於n堦行列式的一道証明題a+b a 0 ... 0 0b a+b a ... 0 00 b a+b ... 0 0... ... ... ... ... ...0 0 0 ... a+b a0 0 0 ... b a+b証明上麪的這個行列式等,第2張

匿名網友

按照第一行展開,得Dn＝(a b)×D(n-1)－ab×D(n-2),所以
Dn－a×D(n-1)＝b×[D(n-1)－a×D(n-2)]
D1＝a b,D2＝a^2＋b^2＋ab（這裡a^2表示a的平方）
所以,數列｛Dn－a×D(n-1)｝是一個等比數列,公比是b,首項爲D2－a×D1＝b^2
所以,Dn－a×D(n-1)＝b^2×b^(n-2)＝b^n
同理由Dn＝(a b)×D(n-1)－ab×D(n-2)得Dn－b×D(n-1)＝a×[D(n-1)－b×D(n-2)]. 所以,Dn－b×D(n-1)＝a^n
由Dn－a×D(n-1)＝b^n,Dn－b×D(n-1)＝a^n 得
Dn＝[a^(n 1)－b^(n 1)]/(a-b),n≥2
D1也滿足上式,所以Dn＝[a^(n 1)－b^(n 1)]/(a-b),n＝1,2,……

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