問道數學題(高二不等式)
設三角形三邊a,b,c滿足a^2 b^2=c^2
儅n大於等於三時,求証：a^n b^n小於c的n次網友廻答：
- 因爲是三角形 又滿足a^2 b^2=c^2
所以爲直角三角形
所以角c爲90
用正弦定理
a/sina=b/sinb=c/sinc=r
將此式帶入要求正的不等式中變爲証明
sina^n sinb^n又因爲c=90
所以爲証明sina^n sinb^n因爲sina^2 cosa^2=1
b=90-a
sinb=sin(90-a)=cosa
將此幾式帶入要証明的式子中
既証
sina^n cosa^n整理
得(sina^2-sina^n) (cosa^2-cosa^n)>0
因爲0所以0而n大於等於三
所以sina^2>sina^n,cosa^2>cosa^n
兩式項加 移項 得証
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