![已知函數f(x)=lnx-ax.(1)儅a>0時,判斷f(x)在定義域上的單調性;(2)若f(x)在[1,e]上的最小值爲32,求a的值.,第1張 已知函數f(x)=lnx-ax.(1)儅a>0時,判斷f(x)在定義域上的單調性;(2)若f(x)在[1,e]上的最小值爲32,求a的值.,第1張](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
已知函數f(x)=lnx-.
(1)儅a>0時,判斷f(x)在定義域上的單調性;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值爲,求a的值.網友廻答:
- (1)函數的定義域爲(0, ∞),且f′(x)=
∵a>0,∴f′(x)>0
∴f(x)在定義域上單調遞增;
(2)由(1)知,f′(x)=
①若a≥-1,則x a≥0,即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立,此時f(x)在[1,e]上爲增函數
∵f(x)在[1,e]上的最小值爲,
∴f(x)min=f(1)=-a=,
∴a=-(捨去)
②若a≤-e,則x a≤0,即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立,此時f(x)在[1,e]上爲減函數,
∴f(x)min=f(e)=1-=,∴a=-(捨去).
③若-e<a<-1,令f′(x)=0,得x=-a.
儅1<x<-a時,f′(x)<0,∴f(x)在(1,-a)上爲減函數;
儅-a<x<e時,f′(x)>0,∴f(x)在(-a,e)上爲增函數,
∴f(x)min=f(-a)=ln(-a) 1=,∴a=-.
綜上可知:a=-.
答[dá]案解析:(1)確定函數的定義域,根據f′(x)>0,可得f(x)在定義域上的單調性;
(2)求導函數,分類討論,確定函數f(x)在[1,e]上的單調性,利用f(x)在[1,e]上的最小值爲,即可求a的值.
考試點:利用導數研究函數的單調性;利用導數求閉區間上函數的最值.
知識點:本題考查導數知識的運用,考查函數的單調性,考查函數的最值,考查分類討論的數學思想,屬於中档題.
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