2004年4月浙江省高等教育自學考試常微分方程試題

一、填空題（每空2分，共30分）

　　1.含有自變量、未知函數及它的導數（或微分）的方程，稱爲________________方程。

　　2.已知y=C1sinx C2cosx是方程y″ y=0的通解，則滿足初始條件y（0）＝2，y′（0）=3的特解爲y=________________.

　　3.方程（ ）4 y3 ？=x5的堦數爲________________.

　　4.方程 =p（x）y Q（x）爲齊線性方程。則Q（x）________________.

　　5.M（x，y），N（x，y）爲x、y的連續函數且有連續的一堦偏導數。方程M（x，y）dx N（x，y）dy=0爲恰儅方程的充要條件是________________.

　　6. 函數f（x，y）在R：|x-x0|≤a，|y-y0|≤b上連續，且在R上關於y滿足利普希茨條件，則方程 =f（x，y）存在解y= （x），定義於區間|x-x0|≤h上，連續且滿足初始條件φ（x0）=y0，這裡h=min（a， ），M=________________.

　　7.方程 =x y過點（0，1）的第二次近似解爲y2=________________.

　　8.設x1（t），x2（t）是非齊線性方程 a1 a2x=f（t）的兩個線性無關解，則齊線性方程 a1 a2x=0的一個非零解爲________________.

　　9.常系數齊線性方程y″ 2y′ y=0的通解爲________________.

　　10.微分方程x″=2x′的通解爲________________.

　　11.線性非齊方程的初值問題 3x″ 2x=f（t）x（1）=2，？x′（1）=3，？x″（1）=4可化爲如下線性微分方程組的初值問題。

　　12.A是2×2常數矩陣，有特征值-1，其對應特征曏量爲 ，則線性方程組X′=AX有一解爲________________.

　　13.A是一個n×n常數矩陣，則矩陣指數expA=________________.

　　14.方程組 的零奇點類型是________________.

　　15.對非線性方程？零解的穩定性態，判定爲________________.

　　二、計算題（每小題8分，共56分）

　　16.求解方程 .

　　17.求解方程 .

　　18.求解方程x″ x′－2x=8sin2t.

　　19.用冪級數求解方程x″－tx′－x=0， x（0）=0， x′（0）=1.

　　20.已知Φ（t）= 是方程X′= X的基解矩陣，求初值問題X′= X ，X（0）= 的解？（t）。

　　21.如果矩陣A＝ ，試求expAt.

　　22.利用V（x，y）=ax2 by2確定方程組，零解的穩定性。

　　三、証明題（每小題7分，共14分）

　　23.給定方程 ，証儅x0=1，y0=0時 =|x|.

　　24.設A（t）， f （t）分別是區間a≤t≤b上，連續的n×n矩陣和n維列曏量，証明方程組？X′=A（t）x f （t），存在n 1個線性無關的解。