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admin百科知識 2022-02-12 20:04:59

已知正實數a、b、c滿足a2+4b2+c2=3．（Ⅰ）求a+2b+c的最大值；（Ⅱ）若不等式|x-5|-|x-1|≥a+2b+c恒成立，求實數x的取值範圍．

已知正實數a、b、c滿足a²4b²c²=3．
（Ⅰ）求a 2b c的最大值；
（Ⅱ）若不等式|x-5|-|x-1|≥a 2b c恒成立，求實數x的取值範圍．

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已知正實數a、b、c滿足a2+4b2+c2=3．（Ⅰ）求a+2b+c的最大值；（Ⅱ）若不等式|x-5|-|x-1|≥a+2b+c恒成立，求實數x的取值範圍．,第2張

（I）∵a²4b²c²=3，由柯西不等式得：（a²4b²c²）（1 1 1）≥（a 2b c）²，
故有 9≥（a 2b c）²．
再根據a、b、c爲正實數，∴a 2b c≤3，即a 2b c的最大值爲3．
（Ⅱ）∵a、b、c爲正實數，不等式|x-5|-|x-1|≥a 2b c恒成立，
∴|x-5|-|x-1|≥（a 2b c）_max=3，
∴
x＜1
(5−x)−(1−x) ≥3
①；或
1≤x＜5
(5−x)−(x−1)≥3
②；或
x≥5
(x−5)−(x−1)≥3
③．
解①求得x＜1，解②求得1≤x≤
3
2
，解③求得 x∈∅，
綜上可得，實數x的取值範圍爲（-∞，
3
2
]．

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