初中數學幾何培優第九講：含30°角的直角三角形

知識解讀

定理：在直角三角形中，如果一個銳角等於30°，那麽它所對的直角邊等於斜邊的一半。

這一定理的題設是角度大小，而結論是邊長之間的數量關系，因此這一定理建立起角度大小與邊長之間的關聯。

典例示範

一、証明線段的倍分關系

例1  如圖2-9-1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC於D，DE⊥AB於E，求証：BE=3AE.

【提示】這個圖中，有3個30°的角，分別是∠B，∠C，∠ADE，有四個直角三角形，這個四個直角三角形都是含30°角的直角三角形，利用“30°所對的直角邊等於斜邊的一半”可建立起BE與AE之間的數量關系.

【解答】

二、遇39°角，常考慮作垂線段，將30°置於直角三角形中.

例2  如圖2-9-3，在△ABC中，BD是AC邊上的中線，DB⊥BC於B，∠ABC=120°，求証：AB=2BC.

【提示】要証明AB=2BC，我們可聯想到“含30°角的直角三角形”，又由於BD是AC邊上的中線，可考慮將中線延長加倍，搆造含30°角的直角三角形。

【解答】

【技巧點評】

將30°角置於直角三角形中，才能運用“30°角所對直角邊等於斜邊的一半”得出兩條線段之間的數量關系，爲解決問題提供幫助。

三、遇15°，常考慮轉化爲30°

例3等腰三角形的一腰長爲3a，底角爲15°，則另一腰上的高爲________.

【提示】等腰三角形的底角爲15°，那麽頂角的鄰補角就是30°，可利用這個30°的角搆造直角三角形。

【技巧點評】

遇30°，45°，60°這些特殊角常考慮搆造含30°的直角三角形和等腰直角三角形，遇到其他角度，也盡可能往30°，45°，60°上靠攏。

四、逆用定理得到30°角

例4如圖2-9-6，△AEB爲等腰直角三角形，ED∥AB，AC=AB，E，C，D在一條直線上，求∠CAB的度數。

【提示】作EM⊥AB於M，CN⊥AB於N，由於ED/∥AB，AC=AB，根據等腰三角形的性質得出EM=0.5AB，進而得出CN=0.5AC，根據含30°角的直角三角形性質定理的逆定理即可求得求∠CAB的度數。

【技巧點評】

在直角三角形中，如果斜邊長等於一條直角邊長的兩倍，那麽這條直角邊所對的角的度數爲30°，這個結論同樣成立。