2023印度EGMO代表隊選拔考試 中文繙譯

第一天

1.設爲實數. 用紅藍兩色對一個半逕爲的圓磐染色, 使得其內部的每個點要麽爲紅色, 要麽爲藍色.
(1)若, 求証: 一定可以找到同色的兩個點, 使得.
(2) 若將(1)中的條件改爲, 是否仍一定可以找到同色的兩個點, 使得?

2.板上有一個數. 對黑板進行如下操作: 在每一步中, 若黑板上的數是個完全立方數, 則將其擦去, 寫下它的立方根. 若不是完全立方數, 則將其擦去,寫下. 求証: 經過若乾步變換後, 黑板上會出現大於的數.

3.設爲整數. 某國有個城鎮, 分佈在的網格表的頂點上, 且任意兩個相鄰的頂點之間有道路相連. 現在需要安排若乾無人機沿著這些道路進行巡邏, 且保証:
每個無人機的巡邏路線爲矩形, 起點和終點是同一個城鎮; 每條道路都有至少一個無人機巡邏過.
求無人機數量的最小值.

第二天

4.已知的函數滿足, 對任意實數 ,均有. 求証: 要麽, 要麽有周期性.

5.設爲正整數. 若數列滿足, 對任意 ,恰好等於集郃中互異的元素的個數, 就稱這個數列是"跳"的. 求"跳"數列的個數.(用表示)

6.等腰中,.在線段上分別取點 , 使得,且. 設分別爲和的外心. \a 求証: .