學生解法|複旦大學2023年研究生入學考試分析第一題解法(米勒定理）

下麪是筆者所教學的另一個平行班蔡鑫鋒同學發來的解答過程，他用幾何軟件（幾何畫板）作圖來解釋。

解：觀察題目，定角定雙點求張角最大，我們不難想到米勒定理，下麪我們來証明一下米勒定理：

對於這種最大角問題，我們很容易和圓與切線聯想到一起。

如圖所示，畫出ΔOAP的外接圓，此時P在x軸上方且是圓與直線的切點。
∴直線上不存在第二個P使得∠OPA與之相等。

直線上再取一點P’，連接OP’和P’A，P’A交圓於C。

由圓周角定理可得∠OCA=∠OPA，
又∵外角定理得∠OCA＞∠OP’A，
所以∠OPA便是最大角，此時圓與直線相切。
設直線與x軸交點爲D，由切割線定理得DO*DA=DP²

可知，DP=√2。

所以P坐標爲（0，1），∠OPA=45°
儅P’在x軸下方時，顯然∠OP’A＜∠OP’A ∠P’AO=45°=∠OPA
綜上所述，儅∠OPA最大時，P坐標爲（0，1）。