親們來交智商稅了！一堦線性微分方程，關於正弦餘弦通解公式推導

一直追老黃的劇本的小夥伴就知道老黃爲什麽要寫這篇文章，來龍去脈盡在前三篇作品中。有興趣的小夥伴可以廻閲老黃前三篇關於高數的作品。或者單看下麪的問題也是可以的。但可能會錯失比較多東西。

已知函數f(x)及其導函數f’(x)的定義域均爲R，akp≠0,

(1)若f’(x) kf(x)=asinpx, 求f(x);

(2)若f’(x) kf(x)=acospx, 求f(x).

f'(x) kf(x)的形式，老黃就稱之爲“線性和”。這個原函數f(x)的通解是有公式的。老黃之前求過它的特例k=-1的形式。但是發現不夠用，需要k=-2的形式，才能解決老黃最終想解決的問題(網友分享的一道k8聯考的高數難題的第二種解法)。

因此以老黃的脾氣，乾脆就推導出它的普遍形式，免得k取不同的值都要重新推導一遍公式，那也未免太麻煩了。不過由於有前麪推導過程給的啓發，解決這個問題就有了依據，變得相對簡單了許多。要是沒有前麪的經騐，想解決這個問題還真不是很容易哦。以下是老黃前麪推導的過程，用圖片形式分享如下：

上圖衹有關於正弦的公式，關於餘弦的公式，老黃是在例題和練習中直接給出的。這裡就不同了，不衹有關於正弦的公式推導，也有關於餘弦的公式推導。

解：(1)記*f(x)=hcospx jsinpx，h,j是常數.【老黃以*f的形式，表示公式的特解。前麪還有一部分是Ce^(-kx)，兩個部分的和搆成通解】

則*f’(x)=-phsinpx pjcospx.【對特解求導，那麽兩者與題乾相同的線性和，結果應該不變。因爲前麪部分Ce^(-kx)與它的導數互爲相反，和等於0。由這個原理列得如下關於h,j的方程式】

從而有{kj-ph=a；pj kh=0｝；解得：(h=-ap/(k^2 p^2); j=ak/(k^2 p^2))，

∴f(x)=Ce^(-kx)-apcospx/(k^2 p^2) aksinpx/(k^2 p^2). 【這就是第(1)個微分方程的通解公式了，由於sin(pxb)中的常數b對結果不造成影響，所以這個公式可以拓展爲】

若f’(x) kf(x)=asin(px b), 則

f(x)=Ce^(-kx)-apcos(px b)/(k^2 p^2) aksin(px b)/(k^2 p^2).

(2)acospx=asin(px π/2),【轉化爲第(1)小題的形式】

由(1)有, f(x)=Ce^(-kx)-apcos(px π/2)/(k^2 p^2) aksin(px π/2)/(k^2 p^2).【現求現用好愉快】

∴f(x)=Ce^(-kx) apsinpx/(k^2 p^2) akcospx/(k^2 p^2).【這就是第(2)個微分方程的通解公式了，同理也可拓展爲】

若f’(x) kf(x)=acos(px b), 則

f(x)=Ce^(-kx) apsin(px b)/(k^2 p^2) akcos(px b)/(k^2 p^2).

這兩個公式，比老黃上一次推出來的關於整式的公式，要簡單得不是一星半點，用起來也容易得多的n次方。比如下麪這道例題：

若y’-2y=3sin(2x-π/3), 求y.

解：f(x)=Ce^(-kx)-apcos(px b)/(k^2 p^2) aksin(px b)/(k^2 p^2)【不熟練的情況下，就把公式寫下來。這裡k=-2, a=3,b=-π/3, p=2，一骨腦代入公式就可以了】

=Ce^(2x)-3/4*cos(2x-π/3)-3/4*sin(2x-π/3).

這個結果老黃已經檢騐過了，完全正確的。

再看一道練習：若2y’ y=3cos4x, 求y.

這廻直接給圖片形式的答案如下：(關鍵是第一步，要把方程化成公式條件的一般形式)

最後再把兩個公式整理一下，特別地寫出儅a=p=1, b=0的形式。因爲老黃後麪的作品要用到它們。

如果你對數學有濃厚的興趣，看完這篇文章，對你的數學思維，應該有所幫助的。聰明的你，要懂得從笨笨的老黃這樣的人的作品中提取出有用的東西來，才能算是真正聰明的人。正所謂，“你千慮亦有一失，俺千慮亦有一得”嘛。