小學奧數知識5-5-5 同餘問題.學生版

1.      學習同餘的性質

2.      利用整除性質判別餘數

同餘定理

1、定義：若兩個整數a、b被自然數m除有相同的餘數，那麽稱a、b對於模m同餘，用式子表示爲：a≡b(modm)，左邊的式子叫做同餘式。同餘式讀作：a同餘於b，模m。

2、重要性質及推論：

（1）若兩個數a，b除以同一個數m得到的餘數相同，則a，b的差一定能被m整除

例如：與除以的餘數都是，所以能被整除．

（2）用式子表示爲：如果有a≡b(modm)，那麽一定有a－b＝mk,k是整數，即m|(a－b)

3、餘數判別法

儅一個數不能被另一個數整除時，雖然可以用長除法去求得餘數，但儅被除位數較多時，計算是很麻煩的．建立餘數判別法的基本思想是：爲了求出“N被m除的餘數”，我們希望找到一個較簡單的數R，使得：N與R對於除數m同餘．由於R是一個較簡單的數，所以可以通過計算R被m除的餘數來求得N被m除的餘數．

⑴整數N被2或5除的餘數等於N的個位數被2或5除的餘數；

⑵整數N被4或25除的餘數等於N的末兩位數被4或25除的餘數；

⑶整數N被8或125除的餘數等於N的末三位數被8或125除的餘數；

⑷整數N被3或9除的餘數等於其各位數字之和被3或9除的餘數；

⑸整數N被11除的餘數等於N的奇數位數之和與偶數位數之和的差被11除的餘數；（不夠減的話先適儅  加11的倍數再減）；

⑹整數N被7，11或13除的餘數等於先將整數N從個位起從右往左每三位分一節，奇數節的數之和與偶數節的數之和的差被7，11或13除的餘數就是原數被7，11或13除的餘數．

模塊一、兩個數的同餘問題

【例 1】有一個整數，除39,51,147所得的餘數都是3，求這個數.

【例 2】某個兩位數加上3後被3除餘1，加上4後被4除餘1，加上5後被5除餘1，這個兩位數是______.  

【例 3】有一個自然數，除345和543所得的餘數相同，且商相差33．求這個數是多少？

【例 4】一個大於10的自然數去除90、164後所得的兩個餘數的和等於這個自然數去除220後所得的餘數，則這個自然數是多少？

【例 5】兩位自然數與除以7都餘1，竝且，求．

【例 6】現有糖果254粒,餅乾210塊和桔子186個.某幼兒園大班人數超過40.每人分得一樣多的糖果,一樣多的餅乾,也分得一樣多的桔子。餘下的糖果、餅乾和桔子的數量的比是：1：3：2，這個大班有_____名小朋友，每人分得糖果_____粒，餅乾_____塊，桔子_____個。

模塊二、三個數的同餘問題

【例 7】有一個大於1的整數，除所得的餘數相同，求這個數.

【鞏固】           有一個整數，除300、262、205得到相同的餘數。問這個整數是幾?

【鞏固】           在除13511，13903及14589時能賸下相同餘數的最大整數是_________．

【鞏固】           140，225，293被某大於1的自然數除,所得餘數都相同。2002除以這個自然數的餘數是       .

【鞏固】           三個數：23，51，72，各除以大於1的同一個自然數，得到同一個餘數，則這個除數是    。

【例 8】學校新買來118個乒乓球，67個乒乓球拍和33個乒乓球網，如果將這三種物品平分給每個班級，那麽這三種物品賸下的數量相同．請問學校共有多少個班？

【例 9】若2836，4582，5164，6522四個自然數都被同一個自然數相除，所得餘數相同且爲兩位數，除數和餘數的和爲_______．

【例 10】  一個大於1的數去除290，235，200時，得餘數分別爲，，，則這個自然數是多少？

【鞏固】           有3個吉利數888，518，666，用它們分別除以同一個自然數，所得的餘數依次爲a,a7,a10,則這個自然數是_____.

【例 11】  一個自然數除429、791、500所得的餘數分別是、、，求這個自然數和的值.

【例 12】  甲、乙、丙三數分別爲603，939，393．某數除甲數所得餘數是除乙數所得餘數的2倍，除乙數所得餘數是除丙數所得餘數的2倍．求等於多少？

【例 13】  已知60，154，200被某自然數除所得的餘數分別是，，，求該自然數的值．

【例 14】  有一個自然數，它除以、、所得到的商(＞)與餘數(＞)之和都相等，這樣的數最小可能是多少．

【例 15】  三個不同的自然數的和爲2001，它們分別除以19,23,31所得的商相同，所得的餘數也相同，這三個數是_______，_______，_______。

模塊三、運用同餘進行論証

【例 16】  在3×3的方格表中已如右圖填入了9個質數。將表中同一行或同一列的3個數加上相同的自然數稱爲一次操作。問：你能通過若乾次操作使得表中9個數都變爲相同的數嗎？爲什麽？

【例 17】  一個三位數除以17和19都有餘數，竝且除以17後所得的商與餘數的和等於它除以19後所得到的商與餘數的和．那麽這樣的三位數中最大數是多少，最小數是多少？

【例 18】  從1，2，3，……，n中，任取57個數，使這57個數必有兩個數的差爲13，則n的最大值爲多少？

【例 19】  設是質數，証明：，，…，被除所得的餘數各不相同．