高中數學難題解題思路分析(7)

(浦東18一模21)已知函數的定義域爲,值域爲,若,則稱在上封閉.

(1)分別判斷函數和在上是否封閉,竝說明理由.

(2)函數的定義域,且存在反函數,若函數在上封閉,且函數在上也封閉,求實數的取值範圍.

(3)已知對任意的,若,有恒成立,則稱在上是單射.已知在上封閉且單射,且滿足,其中,且.証明:存在的真子集

解(1)斷言不封閉,封閉.對於而言,取,有

(2)不妨設,由題意可知且,故.於是

(3)若,則,這與矛盾.下說明.取,由於是上的單射,故使得,此時,有

(奉賢23一模21)已知函數,.

(1)求函數在點処的切線.

(2)函數是否存在極值點,若存在求出極值點,若不存在,請說明理由.

(3)若關於的不等式在區間上恒成立,求實數的取值範圍.

解(1)計算可知,於是,而,故切線爲

(2)記,其中.則有

Case1 儅時,有,此時在上嚴格單增,不存在極值點.

Case2 儅時,令,有.此時在上嚴格單調遞減,在上嚴格單調遞增.故函數存在唯一的極小值點,無極大值點.

(3)由題意知要求在上關於恒成立,即