5個步驟才能完全理清，輔助線不是一般的難，多數動不了筆！

1. 已知：在矩形ABCD中，點E在AD的延長線上，連接CE、BE，且BC=CE，∠DCE的平分線CF交BE於點F.

(1)如圖1，求∠BFC的大小;

(2)如圖2，過點F作FN⟂CF交BA的延長線於點N，求証：BN=AD；

(3)如圖3，在(2)的條件下，FN交AD於點M，點Q爲MN的中點，連接BQ交AD於點H，點P在AH上，且DE=PD，連接BP，且BP=DE，延長MF交CE於點G，連接CM，若△CGM的周長與△BHP的周長的差爲2，求MN的長.

解：(1)CB=CE，∠CBE=∠CEB，而AE||BC得∠DEF=∠EBC，故∠DEF=∠CEF；

∠FEC ∠ECF=45,故∠BFC=45°

(2)過點B作BG⟂FN，BH⟂CF，由BF平分∠GFC得BG=BH；同時∠N ∠BCF=180°，∠BCF ∠BCH=180°得∠N=∠BCH；故△BGN≌△BHC；故BN=BC，而BC=AD，故BN=AD

(3)第一步：由(2)知∠NFB=∠CFB=45°，故∠MFE=∠CFE=135°；EF=EF，∠MEF=∠CEF，得△EFM≌△EFC，EM=CE

第二步：連接BM，ME=BC，ME||BC，EM=EC，得四邊形BCEM爲菱形

第三步：連接CP，PD=DE，CD⟂PE，故PCE爲等腰三角三角形，PC=CE，而CE=BM得BM=PC；BC=BC，∠CBM=∠CED=∠CPE=∠PCB，故△BCM≌△CBP，BP=CM

第四步:BN=BM,Q爲MN的中點，BQ⟂MN，∠MBQ=∠NBQ；∠NBQ ∠N=90°，∠AMN ∠N=90°得∠NBQ=∠AMN，故∠EMG=∠MBQ，又∠BMH=∠GEM，BM=EM，故△BHM≌△MGE，得BH=MG

第五步：△MCG與△BHP的周長之差爲CG-PH=2，而DE=PD=PH HM DM=CG-2 GE DM=DE DM MD-2，得DM=1；AD=ME即有AD-PD=EM-DE，得AP=DM=1；

設AD=ME=BM=x,則有AM=x-1,

得x=5或1(捨),此時可得AM=DE=4，AN=2，故MN=2

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