中考數學模擬題解題分析——母題81、82

母題81：

如圖，PA，PB分別與⊙O相切於點A、B，點M在PB上，且OM//AP，MN⊥AP，垂足爲N。

（1）求証：OM=AN；

（2）若⊙O的半逕R=3，PA=9，求OM的長；

（3）若⊙O的半逕爲2√2，PM=5，求cos∠BPA的值；

條件分析：

由“PA，PB分別與⊙O相切於點A、B”可知，OB⊥PB，OA⊥PA，OA=OB，△OPB≌△OPA；

由“MN⊥AP，OA⊥PA”可知，OA//MN；

由“OM//AP，OA//MN”可知，OMNA是平行四邊形；

由“OMNA是平行四邊形，∠OAP=90°”可知，平行四邊形OMNA是矩形，OA=MN；

在初中求兩直線相等的方法，一般可以通過証明所求直線所在的圖形全等，或者通過一些特殊的包含線段全等定理兩大方曏。衹有線段可以全等，而直線和射線因爲是無限延伸的，是否也可以是全等的呢？

解題思路：

通過分析已知條件，我們發現OM//AP，因爲AN屬於AP，因此OM//AN,而平行且相等的兩條線段所在的四邊形，一定是平行四邊形，衹要証明這兩條線段所在的四邊形是平行四邊形即可；

對於第二小題，我們需要先連接OB，通過証明三角形OBM和三角形MNP全等，把已知條件集中起來，通過使用勾股定理來求線段OM的長度。

對於第三小題，在初中在數學知識範疇裡麪，求一個銳角的三角函數值，還是要通過直角三角形的勾股定理來求值的，因此需要求出直角三角形中∠BPA的臨邊和斜邊，然後再根據餘弦的定義求cos∠BPA的值。

解題步驟：

母題82：

如圖，以O爲圓心的弧BD度數爲60°，∠BOE=45°，DA⊥OB，EB⊥OB。

（1）求線段BE與線段DA的值；

（2）若OE與弧BD交於點M，OC平分∠BOE，連接CM，說明：CM爲⊙O的切線；

（3）在（2）的條件下，若BC=1，求tan∠BCO的值。

條件分析：

我們知道，圓弧的度數是指該弧所對的圓心角的度數，因此由“以O爲圓心的弧BD度數爲60°”可得∠BOD=60°；由“DA⊥OB，EB⊥OB”可得DA∥EB；

解題思路：

本題條件較少，但是這很少的條件確實有關聯的，因爲OD和OB都是圓的半逕，所以是相等關系，而∠BOE=45°，∠OBE=90°，因此BE與OB也是相等關系，這樣線段BE與線段DA就轉化成了線段OD和線段DA，而OD和DA又是直角三角形OAD的兩條直角邊，而且∠DOA的度數已經給了，第一小題就可求解了。

第二小題中，要証明CM爲⊙O的切線，本質是証明∠CMO=90°，觀察條件後，可以發現直角三角形OMC和直角三角形OBC是全等的，問題就被解決了。

對於第三小題，根據第二小題的條件，再加上OBE是等腰直角三角形，就指定角度的正切值的條件就都具備了。

解題步驟：