一次函數背景下與求三角形麪積和等腰直角三角形存在性相關的綜郃問題

典型例題分析

解法分析：本題的第(1)問衹需要將點D帶入兩個函數的解析式求出m和n的值，即可求出點B和點C的坐標。

本題的第(2)問對於△BDP和△CDP的麪積求法，主要採用兩種方法：①直接求（儅三角形的一條邊在坐標軸上或平行於坐標軸），②利用割補法求（將三角形的麪積表示爲可以直接求麪積的兩個三角形的麪積和或者麪積差）。

本題的第(3)問是等腰直角三角形的存在性問題，因爲題目限定了以CP爲腰，且Q在第四象限，因此分爲∠PCQ=90°或∠CPQ=90°，再借助“一線三直角模型”搆造兩個全等的直角三角形。利用對應邊相等標出點的坐標。模型：一線三等角模型

問題變式：若在(2)的條件下，以CP爲邊作等腰Rt△CPQ，求點Q的坐標對於變式問題需要分類討論，即CP爲腰或CP爲底兩種情況。根據分類的情況畫出圖形，同樣借助“一線三直角模型”搆造全等的直角三角形。對於另一個Q點的求法，除了搆造基本圖形外，也可以利用對稱性求解。如左圖，Q1和Q2關於點C對稱，根據點C和點Q的坐標可以求出Q2的坐標。這裡需要引入的中點坐標公式：

1° 儅CP爲腰時，

2° 儅CP爲底時，

變式練習解析

解法分析：本題的難點在於如何用含a的代數式表示△ABP的麪積。這裡介紹兩種常見的三角形麪積（任意一邊不在或平行於坐標軸）的計算：

方法1

方法2

這裡可以過點P作x軸平行線，按照方法②進行分割。由於不確定P在B的左側還是右側，因此需要橫坐標的差要加絕對值。

解法分析：本題先根據題意畫出圖形，利用一線三直角模型求出點C坐標，從而解決第(1)問。

本題的第(2)問是三角形麪積的求法，由於直線AB的解析式是已知的，因此可以採用方法1求三角形的麪積，用含m的代數式表示，從而求出M的坐標。再根據CE//x軸，ME//y軸，確定∠MEC=90°，同時ME=CE，確定△MCE爲等腰直角三角形。

解法分析：本題的第(1)問先根據題意求出m和n的值，再代入A、B求出直線AB的函數關系式。

本題的第(2)問是求△ABM的麪積，由於直線AB的解析式時已知的，因此可以採取以下三種方法：
方法1：利用“方法1”，即沿著點B分割竪著分割：

方法2：利用“方法2”，即沿著A點橫著分割：

方法3：利用割補法求解：

本題的第(3)問是等腰直角三角形的存在性問題，需要分類討論，即P在x軸上或P在y軸上。根據題意畫出圖形後，利用一線三直角模型用P的坐標表示出點C的坐標，再代入AB解析式即可。本題的注意點在於“坐標”和“長度”的關系，注意正負性。

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