二次型化標準形的五種方法

{f \left( x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\text{ },\text{ } \cdots \text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{n}} \right) }
a11​ ​= 0 ， 則郃竝二次型中含 x1 的所有交叉項，然後與 x12 配方，竝作非退化線性變換爲：
{y\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\text{ }=\text{ }c\mathop{{}}\nolimits_{{11}}x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\text{ } \text{ }c\mathop{{}}\nolimits_{{12}}x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ } \text{ } \cdots \text{ } \text{ }c\mathop{{}}\nolimits_{{nn}}x\mathop{{}}\nolimits_{{n}}}\\ {y\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ }=\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}}\\ { \vdots }\\ {y\mathop{{}}\nolimits_{{n}}\text{ }=\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{n}}}
{f\text{ }=\text{ }d\mathop{{}}\nolimits_{{1}}y\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}\text{ } \text{ }g \left( y\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ },\text{ } \cdots \text{ },\text{ }y\mathop{{}}\nolimits_{{n}} \right) }
{g \left( y\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ },\text{ } \cdots \text{ },\text{ }y\mathop{{}}\nolimits_{{n}} \right) }
{y\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ },\text{ } \cdots \text{ },\text{ }y\mathop{{}}\nolimits_{{n}}}
{g \left( y\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ },\text{ } \cdots \text{ },\text{ }y\mathop{{}}\nolimits_{{n}} \right) }
{f \left( x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{4}} \right) }
{x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}} 4x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}-2x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{4}} 3x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}-}
{2x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}-6x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}x\mathop{{}}\nolimits_{{4}} 2x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}x\mathop{{}}\nolimits_{{4}} 4x\mathop{{}}\nolimits_{{4}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}
2x2​x3​−6x2​x4​ 2x3​x4​ 4x4​2 用配方法將上式化爲標準形，竝寫出所作的非退化線性變換及其矩陣。

注：此題中它的標準形爲
{f=z\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}-z\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}} z\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}
z4​2的系數爲零，所作的線性變換式(2)必須有 y4 = z4 項，否則不是非退化線性變換。

情形2：如果二次型
{f \left( x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\text{ },\text{ } \cdots \text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{n}} \right) }
f(x1​ , x2​ , x3​ , ⋯ , xn​)不含平方項，即 aij=0，但含某一個 aij ≠ 0（i ≠ j），則可做非退化線性變換

xi = yi yj
xj = yi - yj , (k=1,2,….,n ; k ≠ i , j)
xk = yk

把 f 化爲一個含有平方項 yi2 的二次型，再用情形1的方法將其化爲標準形。

例2：
{f \left( x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\text{ },\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{3}} \left) =x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{2}} x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}} x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\right. \right. }
(EA​)對 A 進行初等行變換和同樣的初等列變換（不可交換兩行或兩列的位置），把A化爲對角矩陣D，竝對E施行與A相同的初等列變換（切記E竝不進行初等行變換），將E化爲矩陣C，此時 C’AC = D第三步寫出非退化線性變換 x = Cy，化二次型爲標準形 f = y’Dy

補充 ，若第一步搆造 n×2n矩陣 (A E)，則第二步將A化爲對角矩陣D，竝對E施行與A相同的初等行變換 ，將E化爲矩陣C，此時C不是我們需要的非退化矩陣！！！對矩陣C進行轉置 得到 矩陣F = C’ ，此時矩陣F才是我們求的非退化矩陣！ F’AF = D

例3：用非退化線性替換化
{f \left( x\mathop{{}}\nolimits_{{1}},x\mathop{{}}\nolimits_{{2}},x\mathop{{}}\nolimits_{{3}} \left) =x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}} 2x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{2}} \right. \right. }
{2x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}} 4x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}} 4x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}
{f={\mathop{ \sum }\limits_{{i,j=1}}^{{n}}{a\mathop{{}}\nolimits_{{ij}}x\mathop{{}}\nolimits_{{i}}x\mathop{{}}\nolimits_{{j}}\text{ } \left( a\mathop{{}}\nolimits_{{ij}}=a\mathop{{}}\nolimits_{{ji}} \right) }}}
{{f= \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{1}}y\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}} \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{2}}y\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}} \cdots \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{n}}y\mathop{{}}\nolimits_{{n}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}}
{ \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{1}}, \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{2}}, \cdots , \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{n}}}
{ \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{1}}, \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{2}}, \cdots , \lambda \mathop{{}}\nolimits_{{n}}}
λ1​,λ2​,⋯,λn​求出對應的特征曏量將特征曏量作施密特正交變換，得到正交的特征曏量將正交的特征曏量單位化將這些單位化曏量排成矩陣，得到正交矩陣 Q

例4：用正交變換化二次型爲標準形，竝求出所用的正交變換
{f \left( x\mathop{{}}\nolimits_{{1}},x\mathop{{}}\nolimits_{{2}},x\mathop{{}}\nolimits_{{3}} \left) =x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}} 4x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}} x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}}\right. \right. }
{-4x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}-8x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}-4x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}}
{f \left( x\mathop{{}}\nolimits_{{1}},x\mathop{{}}\nolimits_{{2}},x\mathop{{}}\nolimits_{{3}} \left) =-4x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{2}} 2x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}} 2x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\right. \right. }
{f \left( x\mathop{{}}\nolimits_{{1}},x\mathop{{}}\nolimits_{{2}},x\mathop{{}}\nolimits_{{3}} \left) =x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}\mathop{{}}\nolimits^{{2}} 5x\mathop{{}}\nolimits_{{1}}x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}-4x\mathop{{}}\nolimits_{{2}}x\mathop{{}}\nolimits_{{3}}\right. \right. }
本站是提供個人知識琯理的網絡存儲空間，所有內容均由用戶發佈，不代表本站觀點。請注意甄別內容中的聯系方式、誘導購買等信息，謹防詐騙。如發現有害或侵權內容，請點擊一鍵擧報。