壓軸題“一題精講”(十九)：圓中位置關系(二)

本次研究的壓軸題側重點在於求相交兩圓的公共弦的長度。對於相交兩圓的公共弦一般採取勾股定理求解。但是對於動圓中的公共弦的計算有一定的難度。

首先以一道典型問題切入，探求動圓中如何求相交兩圓的公共弦長度。

對於相交兩圓，常見的輔助線是聯結公共弦和連心線，搆造直角三角形：

解法分析：本題中的圓P是一個定圓，其圓心爲AC中點，半逕爲3。圓B是一個動圓，其圓心爲B，半逕是BE，兩圓相交於點E，另一點設爲F，則EF爲兩圓的公共弦。根據相交兩圓的性質，可知BP垂直平分EF。由於E是圓P上的一點，因此EP=PC，利用垂逕定理，過點P作BC的垂線，通過解▲PBG，得到∠PBC的三角比，最後解▲BME，求得ME的長度，最後得到EF的長度。

本題也可以利用勾股定理求出公共弦的長度，這也是求兩圓公共弦常用的方法。

解法分析：本題的背景是等腰三角形和動圓相結郃的問題。本題中已知cosC的值，以及AC=BC=10，因此可以解出▲ABC。同時由同圓的半逕相等，得AP=AD，即∠A=∠PDA，同時∠B=∠A，即∠B=∠PDA，則DP//BC。這是本題隱含的兩個背景。

本題的第一問是圓P和BC相切的背景，根據題意作出圖形，設切點爲F，根據切線的性質，可得▲PFC爲直角三角形，利用cosC，即可求出圓P的半逕長。

本題的第二問是建立y關於x的函數關系式。由背景可知DP//BC，因此可以利用DP-BE-X型基本圖形建立函數關系。其中DP=AP=x，PF=y，問題就在於如何求出BE和BF的長度。通過過點P和點B作垂線，利用三角比和勾股定理求出BE和BF的長度。本題的計算量比較大，輔助線添加得比較多，難度不小。

本題的第三問是求公共弦的長度。首先，需要說明的是點D在圓Q上，才能指明DG是兩圓的公共弦。其次，由於∠GDA=90°，可以利用sinA的值求出DG的長度。最後，如何求圓P的半逕成爲本題的關鍵，利用“直逕所對的圓周角是直角”，可得∠EGC=90°，利用cosC，即可求出x的值，最後求出公共弦DG的長度。本題利用勾股定理求解則顯得比較麻煩，因此巧用三角比是突破本題難點的關鍵。