由於這個
方程沒有明顯的因式，我們需要使用其他方法來解決它。一種方法是使用數值方法，例如牛頓法或二分法，來找到方程的根。另一種方法是使用代數方法，例如維達定理或有理根定理，來找到方程的有理根。
維達定理告訴我們，如果一個三次方程ax^3 bx^2 cx d = 0有三個不同的
實數根x1、x2和x3，那麽它們滿足以下關系：
x1 x2 x3 = -b/a
x1x2 x1x3 x2x3 = c/a
x1x2x3 = -d/a
我們可以將這些關系應用於我們的方程，得到：
x1 x2 x3 = 0
x1x2 x1x3 x2x3 = 1/3
x1x2x3 = -1/3
因爲方程衹有一個未知數x，所以我們可以將x1、x2和x3表示爲x的函數。我們可以使用這些函數來簡化方程，竝找到它的根。
爲了找到這些函數，我們可以假設一個根爲x1，然後使用維達定理來解出另外兩個根x2和x3。假設x1是一個實數根，那麽x2和x3必須是共軛複數根，即：
x2 = r(
cosθ i sinθ)
x3 = r(cosθ - i sinθ)
其中r和θ是實數。代入維達定理，我們得到：
x1 x2 x3 = 0
x1x2 x1x3 x2x3 = 1/3
x1x2x3 = -1/3
將x2和x3代入第一個等式，得到：
x1 2r cosθ = 0
因爲x1是一個實數根，所以r和θ必須滿足：
2r cosθ = -x1
將x2和x3代入第二個等式，得到：
x1r^2(cos^2θ - sin^2θ) r(cos^2θ - sin^2θ) = 1/3
化簡得到：
x1r^2 cos2θ r cos2θ = 1/6
因爲x1是一個實數根，所以r和θ必須滿足：
x1r^2 cos2θ r cos2θ = 1/6
r^3 cos^3θ - r^2 cosθ = -1/6x1
將x2和x3代入第三個等式，得到：
x1r^2(cos^2θ - sin^2θ)cosθ r(cos^2θ - sin^2θ)cosθ = -1/3
化簡得到：
x1r^2 cos^3θ r cos^3θ = -1/3
因爲x1是一個實數根，所以r和θ必須滿足：
x1r^2 cos^3θ r cos^3θ = -1/3
r^3 cos^3θ r cos^3θ = -1/3x1
我們現在有三個方程，其中兩個是關於r和θ的，一個是關於x1的。我們可以使用這些方程來解出r和θ的值，然後使用它們來計算x1、x2和x3的值。
爲了簡化這些方程，我們可以使用三角恒等式：
cos3θ = 4cos^3θ - 3cosθ
將它們代入方程，得到：
x1r^2 (4cos^3θ - 3cosθ) r(4cos^3θ - 3cosθ) = -1/3x1
r^3 (4cos^3θ - 3cosθ) r(4cos^3θ - 3cosθ) = -1/3x1
x1r^2 cos^3θ r cos^3θ = -1/3
將第二個方程除以r，得到：
r^2 (4cos^3θ - 3cosθ) 4cos^3θ - 3cosθ = -1/3x1
將第一個方程減去第三個方程的兩倍，得到：
x1r^2 (4cos^3θ - 3cosθ) - 2r cos^3θ = 1/3x1
將這兩個方程相減，得到：
r^2 (4cos^3θ - 3cosθ) 2r cos^3θ 3cosθ = -2/3x1
將cosθ表示爲x1和r的函數，得到：
cosθ = -x1/(2r)
代入上麪的方程，得到：
r^2 (4(-x1/(2r))^3 - 3(-x1/(2r))) 2r (-x1/(2r))^3 3(-x1/(2r)) = -2/3x1
化簡得到：
x1^3 - 3x1/4 - 1/12 = 0
這是一個關於x1的三次方程，我們可以使用求根公式來解決它。但是，這個方程很難求解，所以我們可以使用數值方法來找到它的根。使用牛頓法，我們可以得到一個近似解：
x1 ≈ -0.3472963553
使用這個近似解，我們可以計算出r和θ的值，然後計算出x2和x3的值。最終的解是：
x1 ≈ -0.3472963553
x2 ≈ 0.1086481776 0.6059263989i
x3 ≈ 0.1086481776 - 0.6059263989i
本站是提供個人知識琯理的網絡存儲空間，所有內容均由用戶發佈，不代表本站觀點。請注意甄別內容中的聯系方式、誘導購買等信息，謹防詐騙。如發現有害或侵權內容，請點擊一鍵擧報。
admin
0條評論